Question

10．（普通班做）（已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為${F_1}（{-2\sqrt{2}，0}）、{F_2}（{2\sqrt{2}，0}）$，長軸長為6，
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知過點(diǎn)（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長度．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$c=2\sqrt{2}，a=3$，由b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，即可得到橢圓方程；
（2）設(shè)$A（\begin{array}{l}{{x_1}，{y_1}}\end{array}），B（\begin{array}{l}{{x_2}，{y_2}}\end{array}）$，將直線AB的方程代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，即可得到．

解答 解：（1）由${F_1}（{-2\sqrt{2}，0}）、{F_2}（{2\sqrt{2}，0}）$，長軸長為6，
得：$c=2\sqrt{2}，a=3$，即b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1；
（2）設(shè)$A（\begin{array}{l}{{x_1}，{y_1}}\end{array}），B（\begin{array}{l}{{x_2}，{y_2}}\end{array}）$，
由（1）可知橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1①，
∵直線AB的方程為y=x+2②，
把②代入①得化簡并整理得10x²+36x+27=0，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{18}{5}，{x_1}{x_2}=\frac{27}{10}$，
由|AB|=$\sqrt{1+1}$•|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
則$|{AB}|=\sqrt{（1+{1^2}）（\frac{{{{18}^2}}}{5^2}-4×\frac{27}{10}）}=\frac{{6\sqrt{3}}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．