Question

已知雙曲線C的中心在原點，焦點在x軸上，右準線為l：x=

1

2

，一條漸近線的方程是y=

3

x．過雙曲線C的右焦點F₂的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點，R是弦PQ的中點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若在l的左側(cè)能作出直線m：x=a，使點R在直線m上的射影S滿足

PS

•

QS

=0，當點P在曲線C上運動時，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）設出漸近線方程是y=

3

x的雙曲線方程為

x2

λ

-

y2

3λ

=1(λ＞0)，求出其右準線方程，由右準線為l：x=

1

2

求得λ的值，則雙曲線C的方程可求；
（2）由S滿足

PS

•

QS

=0，得△PSQ是直角三角形．由點R到直線m：x=a(a≤

1

2

)的距離為|RS|=

|PQ|

2

=xR-a，結合橢圓第二定義得|PQ|=4x_R-2，聯(lián)立后再由R的橫坐標大于等于2求解實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）由漸近線的方程是y=

3

x，可設雙曲線C的方程為

x2

λ

-

y2

3λ

=1(λ＞0)，
則它的右準線方程為x=

λ

2 λ

，即x=

λ

2

．
∵右準線為l：x=

1

2

，
∴

λ

=1，則λ=1，
∴所求雙曲線C的方程是x2-

y2

3

=1；
（2）∵點R在直線m上的射影S滿足

PS

•

QS

=0，
∴PS⊥QS，即△PSQ是直角三角形．
∴點R到直線m：x=a(a≤

1

2

)的距離為|RS|=

|PQ|

2

=xR-a，
即|PQ|=2xR-2a…①
又由橢圓第二定義知

|PF2|

xP- 1 2

=

|F2Q|

xQ- 1 2

=2．
∴|PQ|=|PF₂|+|F₂Q|=2（x_P-x_Q-1）=4x_R-2…②
將②代入①，得x_R=1-a．
又P、Q是過右焦點F₂的一條弦，且P、Q均在雙曲線C的右支上，R是弦PQ的中點．
∴x_R≥2，
即1+a≥2，∴a≤-1．
故所求a的取值范圍是a≤-1．

點評：本題考查了雙曲線標準方程的求法，考查了直線與雙曲線的位置關系，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力，屬高考試卷中的壓軸題．