Question

11．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)都等于2，D在AC₁上，F(xiàn)為BB₁中點(diǎn)，且FD⊥AC₁，有下述結(jié)論
（1）AC₁⊥BC；   
（2）$\frac{AD}{D{C}_{1}}$=1；
（3）面FAC₁⊥面ACC₁A₁；
（4）三棱錐D-ACF的體積為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）連接AB₁，則∠B₁C₁A即為BC和AC₁所成的角，由余弦定理，即可判斷；
（2）連接AF，C₁F，由正三棱柱的定義，即可判斷；
（3）連接CD，則CD⊥AC₁，且FD⊥AC₁，則∠CDF為二面角F-AC₁-C的平面角，通過解三角形CDF，即可判斷；
（4）由于AD⊥平面CDF，通過V_D-ACF=V_A-DCF即可求出體積．

解答 解：（1）連接AB₁，則∠B₁C₁A即為BC和AC₁所成的角，在三角形AB₁C₁中，B₁C₁=2，AB₁=2$\sqrt{2}$，
AC₁=2$\sqrt{2}$，cos∠B₁C₁A=$\frac{8+4-8}{2×2\sqrt{2}×2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故（1）錯(cuò)；
（2）連接AF，C₁F，則易得AF=FC₁=$\sqrt{5}$，
又FD⊥AC₁，則AD=DC₁，故（2）正確；
（3）連接CD，則CD⊥AC₁，且FD⊥AC₁，
則∠CDF為二面角F-AC₁-C的平面角，CD=$\sqrt{2}$，CF=$\sqrt{5}$，DF=$\sqrt{3}$，
即CD²+DF²=CF²，故二面角F-AC₁-C的大小為90°，面FAC₁⊥面ACC₁A₁，故（3）正確；
（4）由于CD⊥AC₁，且FD⊥AC₁，則AD⊥平面CDF，
則V_D-ACF=V_A-DCF=$\frac{1}{3}$•AD•S_△DCF=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．故（4）正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正三棱柱的定義和性質(zhì)，考查線面垂直的判定和性質(zhì)，空間的二面角，以及棱錐的體積，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)換法，屬于中檔題．