Question

已知二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)且關(guān)于y軸對(duì)稱，記函數(shù) ．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）當(dāng)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅲ）試討論函數(shù) y=h（x）的圖象上垂直于y軸的切線的存在情況．

Answer 1

解：（I）∵y=ax²+（b+ ）x+c﹣1是偶函數(shù)，
∴b+ =0，b=﹣ ，
又∵圖象過原點(diǎn)，
∴c=1， ∴b=﹣ ，c=1，
（Ⅱ）當(dāng)a= 時(shí)，h（x）= （ ）
h′（x）= 
=  = 
令f′（x）＜0得，函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是（2﹣ ，2+ ），
（III）∵函數(shù)h（x）的圖象上垂直于y軸的切線，
∴方程h′（x）=0存在正根，
h′（x）=  （ax²﹣ x+1）+ （2ax﹣ ）= 
即5ax²﹣2x+1=0存在正根，△=4（1﹣5a）．
①當(dāng)a＞ 時(shí)，△＜0，方程5ax²﹣2x+1=0無實(shí)數(shù)根，
此時(shí)函數(shù)h（x）的圖象上沒有垂直于y軸的切線
②當(dāng)a= 時(shí)，△=0，方程5ax²﹣2x+1=0根為x=1，
此時(shí)函數(shù)h（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線
③當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，△＞0，方程5ax²﹣2x+1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，
x₁+x₂= ＞0，x₁x₂= ＞0，方程5ax²﹣2x+1=0有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根
此時(shí)函數(shù)h（x）的圖象上有垂直于y軸的切線
④a＜0時(shí)，△＞0，方程5ax²﹣2x+1=0有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)根，
此時(shí)函數(shù)h（x）的圖象上存在一條垂直于y軸的切線綜上：
當(dāng)a＞ 時(shí)，不存在垂直于y軸的切線
當(dāng)a= 或a＜0時(shí)，存在一條垂直于y軸的切線
當(dāng)0＜a＜ 時(shí)，存在垂直于y軸的切線．