Question

16．棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，與D₁B平行的平面截正方體所得截面面積為S，則S的取值范圍是（　�。�

• A． （ 0，$\frac{\sqrt{6}{a}^{2}}{2}$）
• B． （0，$\frac{3\sqrt{3}{a}^{2}}{4}$]
• C． （0，$\frac{5{a}^{2}}{4}$）
• D． （0，$\frac{\sqrt{6}{a}^{2}}{4}$]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，取AA₁與CC₁的中點M和N，得出四邊形MBND₁的面積${S}_{四邊形MB{ND}_{1}}$，
從而得出與D₁B平行的平面截正方體所得截面面積S的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，取AA₁的中點M，CC₁的中點N，
連接D₁M、MB、BN、ND₁，如圖所示；
則MN⊥BD₁，
又AB=a，∴MN=$\sqrt{2}$a，BD₁=$\sqrt{3}$a，
∴四邊形MBND₁的面積為${S}_{四邊形MB{ND}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•MN•BD₁=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$a×$\sqrt{3}$a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a²；
∴與D₁B平行的平面截正方體所得截面面積S的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$a²）．
故選：A．

點評 本題考查了空間中的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．