Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項為l，公比q≠1，S_n為其前n項和，a_l，a₂，a₃分別為某等差數(shù)列的第一、第二、第四項．
（I）求a_n和S_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n+1，數(shù)列{}的前n項和為T_n，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得a₃-a₂=2（a₂-a₁），結(jié)合等比數(shù)列的通項公式表示已知，解方程可求q，進而利用等比數(shù)列的通項公式可求通項及和
（II）由（I）可知，b_n=log₂a_n+1=n，代入==（），利用裂項求和方法即可求解T_n，可證明
解答：解：（I）a_l，a₂，a₃分別為某等差數(shù)列的第一、第二、第四項
∴a₃-a₂=2（a₂-a₁）
∴
∵a₁=1
∴q²-3q+2=0
∴q=2
∴a_n=2^n-1
=2ⁿ-1
（II）由（I）可知，b_n=log₂a_n+1=n
∴==（）
∴T_n=
=
=
點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，數(shù)列的裂項求和方法的應(yīng)用