Question

4．已知橢圓Σ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的焦距為4，且經(jīng)過點(diǎn)$P（2，\frac{5}{3}）$．
（Ⅰ）求橢圓Σ的方程；
（Ⅱ）若直線l經(jīng)過M（0，1），與Σ交于A、B兩點(diǎn)，$\overrightarrow{MA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{MB}$，求l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得c=2，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用橢圓的定義可得2a=6，即a=3，運(yùn)用a，b，c的關(guān)系，可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（Ⅱ）討論若l與x軸垂直，求出A，B的坐標(biāo)，檢驗(yàn)不成立；若l與x軸垂直，設(shè)l的方程y=kx+1，代入橢圓方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，再由向量共線的坐標(biāo)表示，可得k的方程，解得k，即可得到所求直線的方程．

解答 解：（Ⅰ）依題意，2c=4，橢圓Σ的焦點(diǎn)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
由橢圓的定義可得2a=|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$+$\sqrt{（2-2）^{2}+（\frac{5}{3}）^{2}}$=$\frac{13}{3}$+$\frac{5}{3}$=6，
即有a=3，則b²=a²-c²=5，
則橢圓Σ的方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$；
（Ⅱ）若l與x軸垂直，則l的方程為x=0，
A、B為橢圓短軸上兩點(diǎn)$（0，±\sqrt{5}）$，不符合題意；
若l與x軸垂直，設(shè)l的方程y=kx+1，
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\\ y=kx+1\end{array}\right.$得，（9k²+5）x²+18kx-36=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x_1}+{x_2}=-\frac{18k}{{9{k^2}+5}}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{36}{{9{k^2}+5}}$，
由$\overrightarrow{MA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{MB}$得，$（{x_1}，{y_1}-1）=-\frac{2}{3}（{x_2}，{y_2}-1）$，
即有${x_1}=-\frac{2}{3}{x_2}$，代入韋達(dá)定理，可得
$\frac{1}{3}{x_2}=-\frac{18k}{{9{k^2}+5}}$，$-\frac{2}{3}{x_2}^2=-\frac{36}{{9{k^2}+5}}$，即有${（-\frac{54k}{{9{k^2}+5}}）^2}=\frac{54}{{9{k^2}+5}}$，
解得$k=±\frac{1}{3}$，直線l的方程為$y=±\frac{1}{3}x+1$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義，考查直線的方程的求法，注意分類討論的思想方法和聯(lián)立直線方程與橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，以及化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．