Question

14．設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且a-c=d-b，證明：
（Ⅰ）若ab＞cd，則$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtxkna16l$；
（Ⅱ）$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrt6tz6hdq$是|a-b|＜|c-d|的充要條件．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運(yùn)用兩邊平方，結(jié)合條件和不等式的性質(zhì)，即可得證；
（Ⅱ）先證若|a-b|＜|c-d|，則（a-b）²＜（c-d）²，可得ab＞cd，由（Ⅰ）可得$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtvd16ily$；再證若$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtad2tl1c$，兩邊平方，由條件結(jié)合不等式的性質(zhì)，可得|a-b|＜|c-d|，即可得證．

解答 證明：（Ⅰ）由（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²=a+b+2$\sqrt{ab}$，
（$\sqrt{c}$+$\sqrtwuh11nf$）²=c+d+2$\sqrt{cd}$，
由a-c=d-b，可得a+b=c+d，
由ab＞cd，可得（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrtfy673kc$）²，
即為$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtherol75$；
（Ⅱ）若|a-b|＜|c-d|，則（a-b）²＜（c-d）²，
即（a+b）²-4ab＜（c+d）²-4cd，
由a+b=c+d，可得ab＞cd，
由（Ⅰ）可得$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtjsjxtqd$；
若$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtd12axu2$，則（$\sqrt{a}$+$\sqrt$）²＞（$\sqrt{c}$+$\sqrtltgoqnq$）²，
即有a+b+2$\sqrt{ab}$＞c+d+2$\sqrt{cd}$，
由a-c=d-b，可得a+b=c+d，
即有ab＞cd，
（a-b）²=（a+b）²-4ab＜（c+d）²-4cd=（c-d）²，
可得|a-b|＜|c-d|．
即有$\sqrt{a}$+$\sqrt$＞$\sqrt{c}$+$\sqrtrpc1dqn$是|a-b|＜|c-d|的充要條件．

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)，考查充要條件的證明，注意從兩個方面證明，考查化簡整理的運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．