5.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,F(xiàn)為其左焦點(diǎn),若AF⊥BF,設(shè)∠ABF=θ,且θ∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$],則該橢圓離心率e的取值范圍為[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{3}$-1].

分析 設(shè)點(diǎn)A(acosα,bsinα),從而可得(-c-acosα,-bsinα)(-c+acosα,bsinα)=0,從而化簡(jiǎn)可得cosα=$\sqrt{2-\frac{1}{{e}^{2}}}$,而sinθ=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}\sqrt{2-\frac{1}{{e}^{2}}}}$,從而可得$\frac{1}{2}$≤$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}\sqrt{2-\frac{1}{{e}^{2}}}}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$,從而可得$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{{e}^{2}}≥0}\\{\frac{1}{2e}\sqrt{2-\frac{1}{{e}^{2}}}≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$,從而求得.

解答 解:設(shè)點(diǎn)A(acosα,bsinα),則B(-acosα,-bsinα)(0≤α≤$\frac{π}{2}$);
F(-c,0);
∵AF⊥BF,
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0,
即(-c-acosα,-bsinα)(-c+acosα,bsinα)=0,
故c2-a2cos2α-b2sin2α=0,
cos2α=$\frac{{c}^{2}-^{2}}{{c}^{2}}$=2-$\frac{1}{{e}^{2}}$,
故cosα=$\sqrt{2-\frac{1}{{e}^{2}}}$,
而|AF|=$\sqrt{(c+acosα)^{2}+^{2}si{n}^{2}α}$,
|AB|=$\sqrt{4{a}^{2}co{s}^{2}α+4^{2}si{n}^{2}α}$=2c,
而sinθ=$\frac{\sqrt{2{c}^{2}+2accosα}}{2c}$
=$\sqrt{\frac{2{c}^{2}+2accosα}{4{c}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}\sqrt{2-\frac{1}{{e}^{2}}}}$,
∵θ∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{3}$],
∴sinθ∈[$\frac{1}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$],
∴$\frac{1}{2}$≤$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}\sqrt{2-\frac{1}{{e}^{2}}}}$≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2e}$$\sqrt{2-\frac{1}{{e}^{2}}}$≤$\frac{3}{4}$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-\frac{1}{{e}^{2}}≥0}\\{\frac{1}{2e}\sqrt{2-\frac{1}{{e}^{2}}}≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{e≥\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2-\frac{1}{{e}^{2}}≤\frac{{e}^{2}}{4}}\end{array}\right.$,
解得,$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e≤$\sqrt{3}$-1;
故答案為:[$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\sqrt{3}$-1].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓錐曲線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用及平面向量的應(yīng)用,同時(shí)考查了三角函數(shù)的應(yīng)用.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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7.已知二次函數(shù)f(x),當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)有最大值1,且圖象被x軸所截的兩點(diǎn)間的距離為6,求f(x)的解析式.

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8.已知函數(shù)f(x)=x2+f′(2)(lnx-x),則f(1)=( 。
A.$\frac{5}{3}$B.-$\frac{5}{3}$C.-3D.3

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5.在平面上有A、B、C三點(diǎn),滿足|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=1,|$\overrightarrow{BC}$|=$\sqrt{3}$,則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{BC}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{AB}$的值為( 。
A.4B.-4C.-$\frac{5}{2}$D.$\frac{7}{2}$

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12.在△ABC中,已知b=5,c=4$\sqrt{2}$,B=45°,求a,S△ABC

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10.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,它的短軸長(zhǎng)為$2\sqrt{2}$,一個(gè)焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)(c>0),一個(gè)定點(diǎn)A的坐標(biāo)為$({\frac{10}{c}-c,0})$且$\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{FA}$.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知過焦點(diǎn)F的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn).
①若OP⊥OQ,求直線PQ的斜率;
②若直線PQ的斜率為1,在線段OF之間是否存在一個(gè)點(diǎn)M(x0,0),使得以MP,MQ為鄰邊構(gòu)成的平行四邊形為菱形,若存在,求出M點(diǎn)的坐標(biāo);不存在,請(qǐng)說明理由.

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17.設(shè)F1、F2分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1的左、右焦點(diǎn),P為橢圓上任一點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,4),則|PM|+|PF1|的最大值為( 。
A.13B.14C.15D.16

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14.已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,且|F1F2|=6,直線y=kx與橢圓交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)若△AF1F2的周長(zhǎng)為16,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若$k=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$,且A,B,F(xiàn)1,F(xiàn)2四點(diǎn)共圓,求橢圓離心率e的值;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下,設(shè)P(x0,y0)為橢圓上一點(diǎn),且直線PA的斜率k1∈(-2,-1),試求直線PB的斜率k2的取值范圍.

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15.如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AE⊥平面ABCD,EF∥CD,BC=CD=AE=EF=$\frac{1}{2}$AD=1.
(1)求證:CE∥平面ABF;
(2)在直線BC上是否存在點(diǎn)M,使二面角E-MD-A的大小為$\frac{π}{3}$?若存在,求出CM的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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