Question

已知向量

a

=(cosx，sinx)，向量

b

=(cosx，-sinx)，f(x)=

a

•

b

（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=f（x）+sin2x的最小正周期和對稱軸方程；
（Ⅱ）若x是第一象限角且3f（x）=-2f′（x），求tan(x+

π

4

)的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合二倍角公式、輔助角公式，化簡函數(shù)，即可求出函數(shù)的最小正周期和對稱軸方程；
（Ⅱ）若x是第一象限角且3f（x）=-2f′（x），可得tanx=

1

3

，利用和角的正切公式求tan(x+

π

4

)的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵g(x)=cos2x-sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)…（4分）
∴最小正周期T=

2π

2

=π； 
對稱軸方程為x=

kπ

2

+

π

8

(k∈Z)…（6分）
（Ⅱ）由3f（x）=-2f'（x），得3cos2x=4sin2x…（8分）
又x是第一象限角，
∴cosx=3sinx，故tanx=

1

3

…（10分）
∴tan(x+

π

4

)=

tanx+1

1-tanx

=2…（12分）

點(diǎn)評：本題考查向量的數(shù)量積公式、二倍角公式、輔助角公式，考查導(dǎo)數(shù)知識，考查和角的正切公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用公式是關(guān)鍵．