Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+bx²圖象上點P（1，f（1））處的切線方程為2x-y-3=0．
（I）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（II）函數(shù)g（x）=f（x）+m-ln4，若方程g（x）=0在上恰有兩解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=alnx+bx²圖象上點P（1，f（1））處的切線方程為2x-y-3=0，建立方程組，從而可得函數(shù)y=f（x）的解析式；
（II）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調性與最值，從而可得不等式組，即可確定實數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（I）求導函數(shù)可得（x＞0）
∵函數(shù)f（x）=alnx+bx²圖象上點P（1，f（1））處的切線方程為2x-y-3=0
∴f′（1）=2，f（1）=-1
∴
∴a=4，b=-1
∴f（x）=4lnx-x²；
（II）函數(shù)g（x）=f（x）+m-ln4=4lnx-x²+m-ln4（x＞0），則（x＞0）
∴當x時，g′（x）＞0；當x時，g′（x）＜0；
∴函數(shù)在上單調增，在上單調減
∵方程g（x）=0在上恰有兩解，
∴
∴
解得2＜m≤4-2ln2
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調性與最值，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．