Question

已知平面區(qū)域D由A（1，3），B（5，2），C（3，1）為頂點(diǎn)的三角形內(nèi)部和邊界組成．若在區(qū)域D上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（x，y）可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，則實(shí)數(shù)m=

 

．

Answer 1

分析：將目標(biāo)函數(shù)z=x+my化成斜截式方程后得：y=-

1

m

x+

1

m

z，若m＞0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值Z與直線族：y=-

1

m

x+

1

m

z截距同號(hào)，當(dāng)直線族y=-

1

m

x+

1

m

z的斜率與直線AC的斜率相等時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)；若m＜0時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值Z與直線族：y=-

1

m

x+

1

m

z截距異號(hào)，當(dāng)直線族y=-

1

m

x+

1

m

z的斜率與直線BC的斜率相等時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)．但由于AC與BC的斜率為負(fù)，則不滿(mǎn)足第二種情況，由此不難得到m的值．

解答：解：依題意，令z=0，可得直線x+my=0的斜率為-

1

m

，
結(jié)合可行域可知當(dāng)直線x+my=0與直線AC平行時(shí)，
線段AC上的任意一點(diǎn)都可使目標(biāo)函數(shù)z=x+my取得最小值，
而直線AC的斜率為-1，所以m=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng)：目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，處理方法一般是：①將目標(biāo)函數(shù)的解析式進(jìn)行變形，化成斜截式②分析Z與截距的關(guān)系，是符號(hào)相同，還是相反③根據(jù)分析結(jié)果，結(jié)合圖形做出結(jié)論④根據(jù)斜率相等求出參數(shù)．