Question

18．實數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{（x-y-1）（2x+y-5）≥0}\\{0≤x≤2}\end{array}}\right.$則$t=\frac{{|{x+y}|}}{x+1}$的取值范圍是[0，5]．

Answer 1

分析 畫出滿足條件的平面區(qū)域，結(jié)合圖象以及$\frac{y-1}{x+1}$的幾何意義分類求出t的范圍即可．

解答 解：由$\left\{{\begin{array}{l}{（x-y-1）（2x+y-5）≥0}\\{0≤x≤2}\end{array}}\right.$畫出可行域如圖：
，
由$t=\frac{{|{x+y}|}}{x+1}$，可得當x+y≥0時，
$t=\frac{{|{x+y}|}}{x+1}$=$\frac{x+y}{x+1}=\frac{x+y+1-1}{x+1}=1+\frac{y-1}{x+1}$，
$\frac{y-1}{x+1}$的幾何意義表示過平面區(qū)域內(nèi)的點和（-1，1）的直線的斜率，
結(jié)合圖象直線過（0，5），（-1，1）時，斜率最大，最大值是：4，此時t=5，
直線過（0，0），（-1，1）時，斜率最小，最小值是：-1，此時t=0，
故t的范圍是：[0，5]；
當x+y＜0時，
$t=\frac{{|{x+y}|}}{x+1}$=-$\frac{x+y}{x+1}$=-$\frac{x+y+1-1}{x+1}$=-1-$\frac{y-1}{x+1}$，
$\frac{y-1}{x+1}$的幾何意義表示過平面區(qū)域內(nèi)的點和（-1，1）的直線的斜率，
結(jié)合圖象直線過（0，0），（-1，1）時，斜率最大，最大值是：-1，此時t=0，
直線過（0，-1），（-1，1）時，斜率最小，最小值是：-2，此時t=1，
故t的范圍是：[0，1]．
綜上，$t=\frac{{|{x+y}|}}{x+1}$的取值范圍是[0，5]．
故答案為：[0，5]．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法及分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．