【題目】當(dāng)n為正整數(shù)時(shí),函數(shù)N(n)表示n的最大奇因數(shù),如N(3)=3,N(10)=5,…,設(shè)Sn=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+…+N(2n﹣1)+N(2n),則Sn= .
【答案】
【解析】解:由N(x)的性質(zhì)可得知,當(dāng)x是奇數(shù)時(shí),x的最大奇數(shù)因子明顯是它本身.因此N(x)=x,當(dāng)x是偶數(shù)時(shí),參看下面的討論, 因此由這樣一個(gè)性質(zhì),我們就可將Sn進(jìn)行分解,分別算出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和進(jìn)而相加,即Sn=S奇+S偶 ,
∴S奇=N(1)+N(3)+…+N(2n﹣1)=1+3+…2n﹣1= =4n﹣1
當(dāng)x是偶數(shù)時(shí),且x∈[2k , 2k+1)①當(dāng)k=1時(shí),x∈[2,4)該區(qū)間包含的偶數(shù)只有2,而N(2)=1所以該區(qū)間所有的偶數(shù)的最大奇因數(shù)之和為T(mén)1=1
②當(dāng)k=2時(shí),x∈[4,8),該區(qū)間包含的偶數(shù)為4,6,所以該區(qū)間所有的最大奇因數(shù)偶數(shù)之和為T(mén)2=1+3=4
③當(dāng)k=3時(shí),x∈[8,16),該區(qū)間包含的偶數(shù)為8,10,12,14,則該區(qū)間所有偶數(shù)的最大奇因數(shù)之和為T(mén)3=1+3+5+7=16,因此我們可以用數(shù)學(xué)歸納法得出當(dāng)x∈[2k , 2k+1)該區(qū)間所有偶數(shù)的最大奇因數(shù)和Tk=4k﹣1 .
∴對(duì)k從1到n﹣1求和得T1+T2+…+Tn﹣1=
∴S偶=T1+T2+…+Tn﹣1+N(2n)=
綜上可知Sn=S奇+S偶=4n﹣1+ =
所以答案是
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用數(shù)列的前n項(xiàng)和,掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面向量 =(1,x), =(2x+3,﹣x)(x∈R).
(1)若 ∥ ,求| ﹣ |
(2)若 與 夾角為銳角,求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知四棱錐P﹣ABCD的底面為菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP= .
(Ⅰ)求證:AB⊥PC;
(Ⅱ)求點(diǎn)D到平面PAC的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在以下關(guān)于向量的命題中,不正確的是( )
A.若向量 ,向量 (xy≠0),則
B.若四邊形ABCD為菱形,則
C.點(diǎn)G是△ABC的重心,則
D.△ABC中, 和 的夾角等于A
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C的方程:x2+y2﹣2x﹣4y+4=0,點(diǎn)P是直線l:x﹣2y﹣2=0上的任意點(diǎn),過(guò)P作圓的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A、B,當(dāng)∠APB取最大值時(shí).
(Ⅰ)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及過(guò)點(diǎn)P的切線方程;
(Ⅱ)在△APB的外接圓上是否存在這樣的點(diǎn)Q,使|OQ|= (O為坐標(biāo)原點(diǎn)),如果存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,且BC=2AD,AD⊥CD,PB⊥CD,點(diǎn)E在棱PD上,且PE=2ED.
(1)求證:平面PCD⊥平面PBC;
(2)求證:PB∥平面AEC.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n]D,同時(shí)滿足: ①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);
②當(dāng)定義域是[m,n]時(shí),f(x)的值域也是[m,n].
則稱[m,n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.
(1)證明:[0,1]是函數(shù)y=f(x)=x2的一個(gè)“和諧區(qū)間”.
(2)求證:函數(shù) 不存在“和諧區(qū)間”.
(3)已知:函數(shù) (a∈R,a≠0)有“和諧區(qū)間”[m,n],當(dāng)a變化時(shí),求出n﹣m的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中, 平面PCD,平面PAD平面ABCD,CD⊥AD,△APD為等腰直角三角形, .
(1)證明:平面PAB⊥平面PCD;
(2)若三棱錐B﹣PAD的體積為 ,求平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算下列幾個(gè)式子,結(jié)果為 的序號(hào)是 . ①tan25°+tan35° tan25°tan35°,
② ,
③2(sin35°cos25°+sin55°cos65°),
④ .
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