Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到定直線l：的距離之比為．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)M、N是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，若，求|MN|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)定點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到定直線l：的距離之比為求得方程．
（2））先由點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，求得E的坐標(biāo)，再根據(jù)直線l的方程設(shè)M、N坐標(biāo)，然后由，即6+y₁y₂=0．構(gòu)建，再利用基本不等式求得最小值．
解答：解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），
依題意，有．
整理，得．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為．
（2）∵點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為．
∵M(jìn)、N是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，
∴可設(shè)，（不妨設(shè)y₁＞y₂）．
∵，
∴．
即6+y₁y₂=0．即．
由于y₁＞y₂，則y₁＞0，y₂＜0．
∴．
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．
故|MN|的最小值為．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查橢圓、基本不等式等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力