Question

已知曲線C上任意一點P到兩定點F₁（-1，0）與F₂（1，0）的距離之和為4．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C與x軸負半軸交點為A，過點M（-4，0）作斜率為k的直線l交曲線C于B、C兩點（B在M、C之間），N為BC中點．
  （ⅰ）證明：k•k_ON為定值；
  （ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得F₁N⊥AC？如果存在，求直線l的方程，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用P到兩定點F₁（-1，0）與F₂（1，0）的距離之和為4，可得P的軌跡是以F₁（-1，0）與F₂（1，0）為焦點的橢圓，且c=1，a=2，從而可得曲線C的方程；
（Ⅱ）（�。┰O(shè)過點M的直線l的方程為y=k（x+4），與橢圓方程聯(lián)立，求出N的坐標，可得kON=-

3

4k

，即可得出結(jié)論；
（ⅱ）假設(shè)存在實數(shù)k，使得F₁N⊥AC，則k_AC•k_FN=-1，利用斜率公式，即可得出結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：∵P到兩定點F₁（-1，0）與F₂（1，0）的距離之和為4，
P的軌跡是以F₁（-1，0）與F₂（1，0）為焦點的橢圓，且c=1，a=2，
∴b=

22-12

=

3

，
∴曲線C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)過點M的直線l的方程為y=k（x+4），設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂） （x₂＞y₂）．
（�。┳C明：聯(lián)立方程組

y=k(x+4) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0，
則

x1+x2= -32k2 4k2+3 x1x2= 64k2-12 4k2+3

，故xN=

x1+x2

2

=

-16k2

4k2+3

，yN=k(xN+4)=

12k

4k2+3

，
∴kON=-

3

4k

，∴k•k_ON=-

3

4

為定值．
（ⅱ）解：若F₁N⊥AC，則k_AC•k_FN=-1，
∵F₁ （-1，0），kF1N=

12k 4k2+3

-16k2 4k2+3 +1

=

4k

1-4k2

，
∴

y2

x2+2

•

4k

1-4k2

=-1，
代入y₂=k（x₂+4）得x₂=-2-8k²，y₂=2k-8k³，
而x₂≥-2，故只能k=0，顯然不成立，
∴這樣的直線不存在．…（15分）

點評：本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．