Question

7．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax²-bx-1，其中a，b∈R．e=2.71828…，設(shè)g（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，g′（x）=e^x-2a．對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)即可得出其單調(diào)性；
（2）利用（1）的結(jié)論，對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（1）g（x）=f′（x）=e^x-2ax-b，
g′（x）=e^x-2a．
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）=0，解得x=ln（2a）．
當(dāng)x＜ln（2a）時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）在（-∞，ln（2a））上單調(diào)遞減；當(dāng)x＞ln（2a）時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）在（ln（2a），+∞）上單調(diào)遞增．
綜上可得：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）在（-∞，ln（2a））上單調(diào)遞減；函數(shù)g（x）在（ln（2a），+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由（1）可知：①當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增．∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值，g（0）=0．
②當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）在（-∞，ln（2a））上單調(diào)遞減；函數(shù)g（x）在（ln（2a），+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)ln（2a）=0時(shí)，a=$\frac{1}{2}$；當(dāng)ln（2a）=1時(shí)，a=$\frac{e}{2}$．
∴當(dāng)a≥$\frac{e}{2}$時(shí)，ln（2a）≥1，
∴函數(shù)g（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（1）=e-a-b-1．
當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{2}$時(shí)，ln（2a）≤0．函數(shù)g（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，g（x）_min=g（0）=0．
當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}$時(shí)，0＜ln（2a）＜1，∴函數(shù)g（x）在[0，a）上單調(diào)遞減，（a，1]上單調(diào)遞增．
g（x）_min=g（a）=e^a-a³-ab-1．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．