已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b
=(cos2θ，sin2θ)，
c
=(-1，0)，
d
=(0，1)．
（1）求證：
a
⊥(
b
+
c
)；  
（2）設(shè)f(θ)=
a
•(
b
-
d
)，當θ∈(0，
π
2
)時，求f（θ）的值域．
分析：（1）利用數(shù)量積運算可得
a
•
b
=cosθ，
a
•
c
=-cosθ．只有證明
a
•(
b
+
c
)=0即可得到
a
⊥(
b
+
c
)．
（2）利用數(shù)量積運算可得
a
•
d
=sinθ．進而得到f(θ)=
a
•(
b
-
d
)=
a
•
b
-
a
•
d
=
2
cos(θ+
π
4
)．利用θ∈(0，
π
2
)，可得(θ+
π
4
)∈(
π
4
，
3π
4
)．可得cos(θ+
π
4
)∈(-
2
2
，
2
2
)．即可得出f（θ）的值域．
解答：解：（1）∵
a
•
b
=cosθcos2θ+sinθsin2θ=cosθ，
a
•
c
=-cosθ．
∴
a
•(
b
+
c
)=
a
•
b
+
a
•
c
=cosθ-cosθ=0，
∴
a
⊥(
b
+
c
)．
（2）∵
a
•
d
=sinθ．
∴f(θ)=
a
•(
b
-
d
)=
a
•
b
-
a
•
d
=cosθ-sinθ=
2
(
2
2
cosθ-
2
2
sinθ)=
2
cos(θ+
π
4
)．
∵θ∈(0，
π
2
)，∴(θ+
π
4
)∈(
π
4
，
3π
4
)．
∴cos(θ+
π
4
)∈(-
2
2
，
2
2
)．
∴
2
cos(θ+
π
4
)∈(-1，1)．
∴f（θ）∈（-1，1）．
點評：本題考查了數(shù)量積運算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、兩角和的余弦公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過點(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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