Question

已知圓C：x²+y²+Dx+Ey+3=0，圓C關(guān)于直線(xiàn)x+y-1=0對(duì)稱(chēng)，圓心在第二象限，半徑為

2

（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）已知不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圓的方程寫(xiě)出圓心坐標(biāo)，因?yàn)閳AC關(guān)于直線(xiàn)x+y-1=0對(duì)稱(chēng)，得到圓心在直線(xiàn)上代入得到①，把圓的方程變成標(biāo)準(zhǔn)方程得到半徑的式子等于

2

得到②，①②聯(lián)立求出D和E，即可寫(xiě)出圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)l：x+y=a，根據(jù)圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑列出式子求出a即可．

解答：解：（Ⅰ）由x²+y²+Dx+Ey+3=0知圓心C的坐標(biāo)為（-

D

2

，-

E

2

）
∵圓C關(guān)于直線(xiàn)x+y-1=0對(duì)稱(chēng)
∴點(diǎn)（-

D

2

，-

E

2

）在直線(xiàn)x+y-1=0上
即D+E=-2，①且

D2+E2-12

4

=2②
又∵圓心C在第二象限∴D＞0，E＜0
由①②解得D=2，E=-4
∴所求圓C的方程為：x²+y²+2x-4y+3=0
（Ⅱ）∵切線(xiàn)在兩坐標(biāo)軸上的截距相等且不為零，設(shè)l：x+y=a
∵圓C：（x+1）²+（y-2）²=2
∴圓心C（-1，2）到切線(xiàn)的距離等于半徑

2

，
即|

-1+2-a

2

|=

2

，∴a=-1或a=3
所求切線(xiàn)方程x+y=-1或x+y=3

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)把圓的方程變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程的能力，理解直線(xiàn)與圓相切即為圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑．