Question

3．已知函數(shù)f（x）=a^x，（a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時，若函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+m，x＜1}\\{f（x），x≥1}\end{array}\right.$ 的最小值為2，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的圖象位于直線y=2的下方，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時，函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x+m，x＜1\\{2}^{x}，x≥1\end{array}\right.$，結(jié)合函數(shù)最小值為2，可得m-1≥2，解得實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的圖象位于直線y=2的下方，則$\left\{\begin{array}{l}{a}^{-1}＜2\\ a＜2\end{array}\right.$，解得a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}-x+m，x＜1\\{2}^{x}，x≥1\end{array}\right.$，
當(dāng)x＜1時，g（x）＞m-1，
當(dāng)x≥1時，g（x）≥2，
若函數(shù)g（x） 的最小值為2，則m-1≥2，
∴m∈[3，+∞）
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上的圖象位于直線y=2的下方，
則$\left\{\begin{array}{l}{a}^{-1}＜2\\ a＜2\end{array}\right.$，
解得：a∈（$\frac{1}{2}$，1）∪（1，2）

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔．