Question

【題目】在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域．點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A．某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40 海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45°+θ（其中sinθ= ，0°＜θ＜90°）且與點(diǎn)A相距10 海里的位置C． （Ⅰ）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）；
（Ⅱ）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖，
AB=40 ，AC=10 ， ．
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ= ．
由余弦定理得BC= ．
所以船的行駛速度為 （海里/小時(shí)）．
（Ⅱ）如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q．

在△ABC中，由余弦定理得，
= = ．
從而 ．
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ= ．
由于AE=55＞40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE﹣AQ=15．
過(guò)點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離．
在Rt△QPE中，PE=QEsin∠PQE=QEsin∠AQC=QEsin（45°﹣∠ABC）
= ．
所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域．
【解析】（1）先根據(jù)題意畫(huà)出簡(jiǎn)圖確定AB、AC、∠BAC的值，根據(jù)sinθ= 求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，從而可得到船的行駛速度．（2）先假設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q，根據(jù)余弦定理求出cos∠ABC的值，進(jìn)而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的長(zhǎng)度，從而可確定Q在點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，根據(jù)QE=AE﹣AQ求出QE的長(zhǎng)度，然后過(guò)點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離，進(jìn)而在Rt△QPE中求出PE的值在于7進(jìn)行比較即可得到答案．