Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2|x+2|﹣|x+1|，無窮數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a．
（1）如果an=f（n）（n∈N*），寫出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）如果an=f（an﹣1）（n∈N*且n≥2），要使得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求首項(xiàng)a的取值范圍；
（3）如果an=f（an﹣1）（n∈N*且n≥2），求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=2|x+2|﹣|x+1|= ，

又n≥1且n∈N*，∴an=f（n）=n+3

（2）解：如果{an}是等差數(shù)列，則an﹣an﹣1=d，an=an﹣1+d，

由f（x）知一定有an=an﹣1+3，公差d=3．

當(dāng)a1≥﹣1時(shí)，符合題意．

當(dāng)﹣2≤a1≤﹣1時(shí)，a2=3a1+5，由a2﹣a1=3得3a1+5﹣a1=3，得a1=﹣1，a2=2．

當(dāng)a1≤﹣2時(shí)，a2=﹣a1﹣3，由a2﹣a1=3得﹣a1﹣3﹣a1=3，得a1=﹣3，此時(shí)a2=0．

綜上所述，可得a的取值范圍是a≥﹣1或a=﹣3

（3）解：當(dāng)a≥﹣1時(shí)，an=f（an﹣1）=an﹣1+3，∴數(shù)列{an}是以a為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列， ．

當(dāng)﹣2≤a≤﹣1時(shí)，a2=3a1+5=3a+5≥﹣1，∴n≥3時(shí)，an=an﹣1+3．∴n=1時(shí)，S1=a．n≥2時(shí)，

又S1=a也滿足上式，∴ （n∈N*）

當(dāng)a≤﹣2時(shí)，a2=﹣a1﹣3=﹣a﹣3≥﹣1，∴n≥3時(shí)，an=an﹣1+3．∴n=1時(shí)，S1=a．n≥2時(shí)，

又S1=a也滿足上式，∴ （n∈N*）．

綜上所述：Sn=

【解析】（1）化簡函數(shù)f（x）為分段函數(shù)，然后求出an=f（n）=n+3．（2）如果{an}是等差數(shù)列，求出公差d，首項(xiàng)，然后求解a的范圍．（3）當(dāng)a≥﹣1時(shí)，求出前n項(xiàng)和，當(dāng)﹣2≤a≤﹣1時(shí)，當(dāng)a≤﹣2時(shí)，分別求出n項(xiàng)和即可．