Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意的x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）；②當(dāng)x＞1時，f（x）＞0．
求證：（1）對任意的x∈R，都有f(

1

x

)=-f(x)；
（2）判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件通過賦值法x=y=1，換元法（用

1

x

代替y）證明所證等式．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，直接證明即可．

解答：解：（1）證明：令x=y=1，則有f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0．
對任意x＞0，用

1

x

代替y，有f(x)+f(

1

x

)=f(x•

1

x

)=f(1)=0，∴f(

1

x

)=-f(x)．
（2）f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)．
取x₁＜x₂＜0，則

x1

x2

＞1，∴f(

x1

x2

)＞0，
∵f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f(

1

x2

)=f(

x1

x2

)＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)．

點評：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，賦值法與換元法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．