Question

12．已知圓E：x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，經(jīng)過橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦點F₁，F(xiàn)₂，且與橢圓C在第一象限的交點為A，且F₁，E，A三點共線，直線l交橢圓C于M，N兩點，且與直線OA平行．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求三角形AMN的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由題意把焦點坐標代入圓的方程求出c，再由條件得F₁A為圓E的直徑求出|AF₁|=3，根據(jù)勾股定理求出|AF₂|，根據(jù)橢圓的定義和a²=b²+c²依次求出a和b的值，代入橢圓方程即可；
（2）由（1）求出A的坐標、直線OA的斜率，設(shè)直線l的方程和M、N的坐標，聯(lián)立直線和橢圓方程消去y，利用韋達定理和弦長公式求出|MN|，由點到直線的距離公式求出點A到直線l的距離，代入三角形的面積公式求出△AMN的面積S的表達式，化簡后利用基本不等式求出面積的最大值，

解答 解：（1）如圖圓E經(jīng)過橢圓C的左右焦點F₁，F(xiàn)₂，
∴c²+（0-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{9}{4}$，解得c=$\sqrt{2}$，…（2分）
∵F₁，E，A三點共線，∴F₁A為圓E的直徑，則|AF₁|=3，
∴AF₂⊥F₁F₂，∴|AF₂|²=9-8=1，
∵2a=|AF₁|+|AF₂|=3+1=4，∴a=2
由a²=b²+c²得，b=$\sqrt{2}$，…（4分）
∴橢圓C的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1；…（5分）
（2）由（1）得點A的坐標（$\sqrt{2}$，1），直線l的斜率為k_OA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（6分）
則設(shè)直線l的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+m，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立橢圓方程得，${x}^{2}+\sqrt{2}mx+{m}^{2}-2$=0，
∴x₁+x₂=-$\sqrt{2}m$，x₁x₂=m²-2，
且△=2m²-4m²+8＞0，解得-2＜m＜2，…（8分）
∴|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₂-x₁|=$\sqrt{12-3{m}^{2}}$，
∵點A到直線l的距離d=$\frac{\sqrt{6}|m|}{3}$，
∴△AMN的面積S=$\frac{1}{2}×$$\sqrt{12-3{m}^{2}}$×$\frac{\sqrt{6}|m|}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{（4-{m}^{2}）{m}^{2}}$≤$\sqrt{2}$…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)4-m²=m²，即m=$±\sqrt{2}$，三角形AMN的面積的最大值為$\sqrt{2}$．…（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，韋達定理和弦長公式，以及直線、圓與橢圓的位置關(guān)系等，考查的知識多，綜合性強，考查化簡計算能力，屬于中檔題．