Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形
（Ⅰ）求證：AC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，AD=2，PD=2

2

，AC與BD相交于O，求PA與平面PBD所成角的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得PD⊥AC，BD⊥AC，由此能證明AC⊥平面PBD．
（Ⅱ）連接PO，∠APO是PA與平面PBD所成的角，由此能求出PA與平面PBD所成角的大�。�

解答： （本小題10分）
（Ⅰ）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD．…（5分）
（Ⅱ）解：連接PO．∵AC⊥平面PBD，
∴∠APO是PA與平面PBD所成的角．
又AD=2，AO=

3

，
PD=2

2

，PA=

PD2+DA2

=2

3

∴∠APO=30°．
∴PA與平面PBD所成角的大小為30°．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查線面角的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．