Question

6．已知函數(shù)f（x）=1n（x+$\sqrt{4+{x}^{2}}$）-ln2．
（1）求f（2）+f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）的值；
（2）判斷函數(shù)（x）的奇偶性．

Answer 1

分析 （1）將f（x）中的x分別換上2和$\frac{\sqrt{2}}{2}$，然后進(jìn)行對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可；
（2）容易看出函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，求f（-x），進(jìn)行分子有理化，及對(duì)數(shù)的運(yùn)算便可判斷和f（x）的關(guān)系，從而得出f（x）的奇偶性．

解答 解：（1）f（2）+f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$ln（2+\sqrt{8}）-ln2+ln（\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{4+\frac{1}{2}}）-ln2$=$ln\frac{2+2\sqrt{2}}{2}+ln（\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}）-ln2$=$ln（1+\sqrt{2}）+ln\sqrt{2}=ln（2+\sqrt{2}）$；
（2）$x+\sqrt{4+{x}^{2}}＞0$恒成立；
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽；
f（-x）=$ln（-x+\sqrt{4+{x}^{2}}）-ln2$=$ln\frac{4}{x+\sqrt{4+{x}^{2}}}-ln2=2ln2-ln（x+\sqrt{4+{x}^{2}}）-ln2$=$-[ln（x+\sqrt{4+{x}^{2}}）-ln2]=-f（x）$；
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 考查已知函數(shù)求值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及奇函數(shù)的定義，及根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷函數(shù)奇偶性的方法和過程，分子有理化方法的運(yùn)用．