Question

14．已知平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，點A（sinx，1），B（cosx，0），C（-sinx，2），點P在直線AB上，且$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$．
（1）記函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CA}$，判斷點（$\frac{7π}{8}$，0）是否為函數(shù)f（x）圖象的對稱中心，若是，請給予證明；若不是，請說明理由．
（2）若函數(shù)g（x）=|$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OC}$|，且x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)g（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}$=（cosx-sinx，-1），$\overrightarrow{CA}$=（2sinx，-1），利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得f（x）=$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CA}$=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，計算則$f（\frac{7π}{8}）$=0是否成立即可判斷出．
（2）由于$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$，可得$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OC}$，利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得：g（x）=|$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{5-2sin2x}$，利用x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，可得sin2x∈$[-\frac{1}{2}，1]$．即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}$=（cosx-sinx，-1），$\overrightarrow{CA}$=（2sinx，-1），
∴f（x）=$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{CA}$=2sinx（cosx-sinx）+1=sin2x-2sin²x+1=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$，
則$f（\frac{7π}{8}）$=$\sqrt{2}sin（2×\frac{7π}{8}+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{2}sin2π$=0，
因此點（$\frac{7π}{8}$，0）為函數(shù)f（x）圖象的對稱中心．
（2）∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BP}$，∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AB}$=（2cosx-sinx，-1），
∴$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OC}$=（2cosx-2sinx，1），
∴g（x）=|$\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{（2cosx-2sinx）^{2}+1}$=$\sqrt{5-2sin2x}$，
∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，∴2x∈$[-\frac{π}{6}，π]$，∴sin2x∈$[-\frac{1}{2}，1]$．
∴g（x）∈$[\sqrt{3}，\sqrt{6}]$．
∴當(dāng)x=$-\frac{π}{12}$時，函數(shù)g（x）取得最大值$\sqrt{6}$，當(dāng)x=$\frac{π}{4}$時，函數(shù)g（x）取得最小值$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算性質(zhì)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．