Question

如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，，且．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）棱上是否存在一點，使直線與平面所成的角是？若存在，求的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：在正方形中，.

因為，，

所以 平面．                       

因為 平面，

所以 ．                                  

同理，．

因為 ，

      所以 平面．                         

（Ⅱ）解：連接，由（Ⅰ）知平面．

因為 平面，

所以 ．                                  

因為 _，，

所以 ．                                     

分別以，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

      由題意可得：，，，．

      所以 ，，，．                         

      設平面的一個法向量，

      則 即 令，得.

所以 ．

      同理可求：平面的一個法向量．      

      所以 ．

      所以 二面角的余弦值為．             

（Ⅲ）存在．理由如下：

      若棱上存在點滿足條件，設，．

      所以 ．       因為 平面的一個法向量為．

      所以 ．

      令 解得：.

     經(jīng)檢驗．                          

     所以 棱上存在點，使直線與平面所成的角是，此時的長為．