Question

如圖1，游樂場中的摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)，其最低點離地面5米，如果以你從最低點登上摩天輪的時刻開始計時，那么你與地面的距離y （m） 隨時間x （min）變化的關(guān)系將如圖所示（該圖象近似于y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，-π≤φ≤0）的圖象）．

（Ⅰ）求出y（m）和x（min）的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）當你第四次距離地面65米時與第一次距離地面65米時相隔多少時間？

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由圖結(jié)合參數(shù)的意義可得A，b，ω，代點結(jié)合范圍可得φ，可得解析式；
（Ⅱ）由題意可得cos

π

12

x=-

1

2

，可得第一次距離地面65米時的時間x₁=8（min），第四次距離地面65米時的時間x₄=40（min），作差可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由圖可知，A=

85-5

2

=40，b=

85+5

2

=45，
又周期T=24，∴ω=

2π

24

=

π

12

，
∴y=40sin(

π

12

x+φ)+45．
∵函數(shù)圖象過點（0，5），
∴40sinφ+45=5，即sinφ=-1，
∵-π≤φ≤0，∴φ=-

π

2

．
∴y=40sin(

π

12

x-

π

2

)+45=45-40cos

π

12

x；
（Ⅱ）又y=45-40cos

π

12

x=65，可得cos

π

12

x=-

1

2

，
由圖可知第一次距離地面65米時的時間x₁∈（0，12）
∴

π

12

x1=

2π

3

，x₁=8（min）．
∴由圖象的對稱性可知第二次距離地面65米時的時間x₂=12+（12-x₁）=12+4=16（min）
．∴第四次距離地面65米時的時間x₄=x₂+T=16+24=40（min）．
∵x₄-x₁=40-8=32（min）．
∴第四次距離地面65米時與第一次距離地面65米時相隔32min．

點評：本題考查是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及實際應(yīng)用，屬中檔題．