Question

設A、B、C分別是復數(shù)Z₀=ai，Z₁=

1

2

+bi，Z₂=1+ci（其中a，b，c都是實數(shù)）對應的不共線的三點．
證明：曲線：Z=Z₀cos⁴t+2Z₁cos²tsin²t+Z₂sin⁴t  （t∈R）與△ABC中平行于AC的中位線只有一個公共點，并求出此點．

Answer 1

分析：首先把三個復數(shù)代入曲線，整理后得出曲線的形狀，然后設出AC中點，求出對應的中位線方程，和拋物線聯(lián)立解交點．

解答：證明：曲線方程為：z=aicos⁴t+（1+2bi）cos²tsin²t+（1+ci）sin⁴t
=（cos²tsin²t+sin⁴t）+i（acos⁴t+2bcos²tsin²t+csin⁴t）
所以x=cos²tsin²t+sin⁴t=sin²t（0≤x≤1）
y=acos⁴t+2bcos²tsin²t+csin⁴t=a（1-x）²+2b（1-x）x+cx²
即y=（a-2b+c）x²+2（b-a）x+a（0≤x≤1）①
若a-2b+c=0，則Z₀、Z₁、Z₂三點共線，與已知矛盾，故a-2b+c≠0．
于是此曲線為對稱軸與x軸垂直的拋物線．
設AB中點M：

1

4

+

1

2

(a+b)i，BC中點N：

3

4

+

1

2

(b+c)i
與AC平行的中位線經過M(

1

4

，

1

2

(a+b))及N(

3

4

，

1

2

(b+c))兩點，
其方程為4（a-c）x+4y-3a-2b+c=0（

1

4

≤x≤

3

4

），
令4（a-2b+c）x²+8（b-c）x+4a=4（c-a）x+3a+2b-c，
即4（a-2b+c）x²+4（2b-a-c）x+a-2b+c=0，
由a-2b+c=0，得4x²+4x+1=0，此方程在[

1

4

，

3

4

]內有唯一解x=

1

2

，
以x=

1

2

代入①得y=

1

4

(a+2b+c)，
所以，所求公共點坐標為（

1

2

，

1

4

(a+2b+c)．

點評：本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的混合運算，考查了整體運算思想，訓練了計算能力，運算量偏大．