Question

設(shè)A、B、C分別是復(fù)數(shù)Z₀=ai，Z₁=

1

2

+bi，Z₂=1+ci（其中a，b，c都是實(shí)數(shù)）對(duì)應(yīng)的不共線的三點(diǎn)．
證明：曲線：Z=Z₀cos⁴t+2Z₁cos²tsin²t+Z₂sin⁴t  （t∈R）與△ABC中平行于AC的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并求出此點(diǎn)．

Answer 1

證明：曲線方程為：z=aicos⁴t+（1+2bi）cos²tsin²t+（1+ci）sin⁴t
=（cos²tsin²t+sin⁴t）+i（acos⁴t+2bcos²tsin²t+csin⁴t）
所以x=cos²tsin²t+sin⁴t=sin²t（0≤x≤1）
y=acos⁴t+2bcos²tsin²t+csin⁴t=a（1-x）²+2b（1-x）x+cx²
即y=（a-2b+c）x²+2（b-a）x+a（0≤x≤1）①
若a-2b+c=0，則Z₀、Z₁、Z₂三點(diǎn)共線，與已知矛盾，故a-2b+c≠0．
于是此曲線為對(duì)稱軸與x軸垂直的拋物線．
設(shè)AB中點(diǎn)M：

1

4

+

1

2

(a+b)i，BC中點(diǎn)N：

3

4

+

1

2

(b+c)i
與AC平行的中位線經(jīng)過(guò)M(

1

4

，

1

2

(a+b))及N(

3

4

，

1

2

(b+c))兩點(diǎn)，
其方程為4（a-c）x+4y-3a-2b+c=0（

1

4

≤x≤

3

4

），
令4（a-2b+c）x²+8（b-c）x+4a=4（c-a）x+3a+2b-c，
即4（a-2b+c）x²+4（2b-a-c）x+a-2b+c=0，
由a-2b+c=0，得4x²+4x+1=0，此方程在[

1

4

，

3

4

]內(nèi)有唯一解x=

1

2

，
以x=

1

2

代入①得y=

1

4

(a+2b+c)，
所以，所求公共點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，

1

4

(a+2b+c)．