Question

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1）=2，且f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）在R上恒有f′（x）＜1 （x∈R），則不等式f（x³）＞x³+1的解集為

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)g（t）=f（t）-t-1，g'（t）=f′（t）-1＜0，從而可得g（t）的單調(diào)性，結(jié)合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．

解答：解：設(shè)x³=t，則f（x³）＞x³+1轉(zhuǎn)化為f（t）＞t+1．
令g（t）=f（t）-t-1，
∵f′（x）＜1（x∈R），∴f′（t）＜1．
∴g′（t）=f′（t）-1＜0，
∴g（t）=f（t）-t-1為減函數(shù)，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1-1=0，
∴不等式f（t）＞t+1的解集?g（x）=f（t）-t-1＞0=g（1）的解集，
即g（t）＞g（1），又g（t）=f（t）-t-1為減函數(shù)，
∴t＜1，即t∈（-∞，1）．
故答案為：（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可構(gòu)造函數(shù)，考查所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，屬于中檔題．