Question

9．若一個(gè)正四面體的表面積為S₁，其內(nèi)切球的表面積為S₂，則$\frac{S_1}{S_2}$=（　　）

• A． $\frac{6}{π}$
• B． $\frac{{6\sqrt{3}}}{π}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{{4\sqrt{3}}}{π}$

Answer 1

分析 設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，利用體積分割法計(jì)算出內(nèi)切球半徑r，從而得到S₂關(guān)于a的式子．利用正三角形面積公式，算出正四面體的表面積S₁關(guān)于a的式子，由此不難得出S₁與S₂的比值．

解答 解：設(shè)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，可得
∵等邊三角形ABC的高等于$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，底面中心將高分為2：1的兩段
∴底面中心到頂點(diǎn)的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
可得正四面體ABCD的高為h=$\sqrt{{a}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a
∴正四面體ABCD的體積V=$\frac{1}{3}$×S_△ABC×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³，
設(shè)正四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為r，則4×$\frac{1}{3}$×S_△ABC×r=$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³，解得r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a
∴內(nèi)切球表面積S₂=4πr²=$\frac{π{a}^{2}}{6}$
∵正四面體ABCD的表面積為S₁=4×S_△ABC=$\sqrt{3}$a²，
∴$\frac{S_1}{S_2}$=$\frac{6\sqrt{3}}{π}$，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題給出正四面體，求它的表面積與其內(nèi)切球表面積的比值，著重考查了正四面體的性質(zhì)、球的表面積公式和多面體的外接、內(nèi)切球半徑等知識(shí)，屬于中檔題．