Question

17．在△ABC中，∠C=$\frac{π}{4}$，O為外心，且有$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，則m+n的取值范圍是[-$\sqrt{2}$，1）．

Answer 1

分析 利用已知條件，得∠AOB=$\frac{π}{2}$，兩邊平方$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，則m²+n²=1結(jié)合基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答 解：設(shè)圓的半徑為1，則由題意m、n不能同時為正，
∴m+n＜1…①
∵∠C=$\frac{π}{4}$，O是△ABC的外心，
∴∠AOB=$\frac{π}{2}$
兩邊平方$\overrightarrow{OC}$=m$\overrightarrow{OA}$+n$\overrightarrow{OB}$，即可得出1=m²+n²+2mncos∠AOB⇒m²+n²=1…②，
∵$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{2}$≥（$\frac{m+n}{2}$），…③，
由①②③得-$\sqrt{2}$≤m+n≤1
故答案為：[-$\sqrt{2}$，1）

點評 本題考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．