Question

19．已知函數(shù)f（x）=9^x-m•3^x+1，若存在實數(shù)x，使等式f（-x）+f（x）=0成立，則實數(shù)m的最小值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由已知推導出3m=${3}^{x}+{3}^{-x}-\frac{2}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$，令t=3^x+3^-x，則t≥2，得到3m=t-$\frac{2}{t}$（t≥2）在[2，+∞）上是單調增函數(shù)，由此能求出實數(shù)m的最小值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=9^x-m•3^x+1，存在實數(shù)x，使等式f（-x）+f（x）=0成立，
∴9^-x-m•3^-x+1=-9^x+m•3^x+1，
∴m（3^x+1+3^-x+1）=9^x+9^-x，
∴3m=$\frac{{9}^{x}+{9}^{-x}}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$=$\frac{（{3}^{x}+{3}^{-x}）^{2}-2}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$=${3}^{x}+{3}^{-x}-\frac{2}{{3}^{x}+{3}^{-x}}$，
令t=3^x+3^-x，則t≥2，
∵函數(shù)y=t與y=-$\frac{2}{t}$在[2，+∞）上均為單調遞增函數(shù)，
∴3m=t-$\frac{2}{t}$（t≥2）在[2，+∞）上是單調增函數(shù)，
當t=2時，3m=t-$\frac{2}{t}$（t≥2）取得最小值1，即3m≥1，
∴$m≥\frac{1}{3}$．∴實數(shù)m的最小值為$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查函數(shù)中參數(shù)的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運用．