Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx在x=1時(shí)取得極大值5
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對(duì)于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜m²-8m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=2x³+3ax²+3bx在x=1時(shí)取得極大值5，知

f/(1)=0 f(1)=5

，解得a=-3，b=4，由此能求出函數(shù)f（x）的解析式．
（2）對(duì)于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜m²-8m成立等價(jià)于2x³-9x²+12x＜m²-8m在[0，3]上恒成立．由f（x）=2x³-9x²+12x?[f(x)]max＜m2-8m在[0，3]上恒成立，能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=2x³+3ax²+3bx，
∴f'（x）=6x²+6ax+3b…（1分）
∵函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx在x=1時(shí)取得極大值5，
∴

f/(1)=0 f(1)=5

…（2分）
解得：a=-3，b=4，…（3分）
經(jīng)檢驗(yàn)：a=-3，b=4符合題意    …（4分）
∴f（x）=2x³-9x²+12x…（5分）
（2）對(duì)于任意的x∈[0，3]，
都有f（x）＜m²-8m成立等價(jià)于2x³-9x²+12x＜m²-8m在[0，3]上恒成立，…（6分）
由f（x）=2x³-9x²+12x?[f(x)]max＜m2-8m在[0，3]上恒成立，…（8分）
比較f（2），f（1），f（0），f（3）的大小，
得[f（x）]_max=9…（10分）
∴9＜m²-8m，…11 分
解得m＞9或m＜-1．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)于任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜m²-8m成立等價(jià)于2x³-9x²+12x＜m²-8m在[0，3]上恒成立．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．