【題目】已知,.

1)令,求證:有唯一的極值點(diǎn);

2)若點(diǎn)為函數(shù)上的任意一點(diǎn),點(diǎn)為函數(shù)上的任意一點(diǎn),求、兩點(diǎn)之間距離的最小值.

【答案】1)證明見解析;(2.

【解析】

1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理,說明函數(shù)在定義域上有唯一零點(diǎn),再分析函數(shù)在該零點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào),可得證函數(shù)有唯一極值點(diǎn);

2)根據(jù)函數(shù)關(guān)于直線,將直線平移后與分別與曲線、切于,由此可得出的最小值.

1)由題意知,所以,

單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,

,

所以存在唯一的,使得,

當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,函數(shù)單調(diào)遞增;

因此,函數(shù)有唯一的極值點(diǎn);

2)由于互為反函數(shù),兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱,

如下圖,

將直線平移使得平移后的直線與函數(shù)的圖象相切,,

,,可得點(diǎn).

將直線平移使得平移后的直線與函數(shù)的圖象相切,,

,,可得點(diǎn)

因此,兩點(diǎn)間距離的最小值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表:

質(zhì)量指標(biāo)值分組

頻數(shù)

6

26

38

22

8

1)在答題卡上畫出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖(要求用陰影部分顯示);

2)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定?

3)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均值及中位數(shù)(其中求平均值時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表,求中位數(shù)精確到0.1).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖1,在直角梯形中,,點(diǎn)上,且,將沿折起,使得平面平面(如圖2).中點(diǎn)

(1)求證:;

(2)求四棱錐的體積;

(3)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】若數(shù)列滿足,且,則

①數(shù)列是等比數(shù)列;

②滿足不等式:

③若函數(shù)R上單調(diào)遞減,則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列;

④存在數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng),能組成三角形的三條邊;

⑤滿足等式:.

正確的序號(hào)是________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨著人民生活水平的日益提高,某小區(qū)居民擁有私家車的數(shù)量與日俱增.由于該小區(qū)建成時(shí)間較早,沒有配套建造地下停車場(chǎng),小區(qū)內(nèi)無序停放的車輛造成了交通的擁堵.該小區(qū)的物業(yè)公司統(tǒng)計(jì)了近五年小區(qū)登記在冊(cè)的私家車數(shù)量(累計(jì)值,如147表示2016年小區(qū)登記在冊(cè)的所有車輛數(shù),其余意義相同),得到如下數(shù)據(jù):

編號(hào)

1

2

3

4

5

年份

2014

2015

2016

2017

2018

數(shù)量(單位:輛)

37

104

147

196

216

1)若私家車的數(shù)量與年份編號(hào)滿足線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測(cè)2020年該小區(qū)的私家車數(shù)量;

2)小區(qū)于2018年底完成了基礎(chǔ)設(shè)施改造,劃設(shè)了120個(gè)停車位.為解決小區(qū)車輛亂停亂放的問題,加強(qiáng)小區(qū)管理,物業(yè)公司決定禁止無車位的車輛進(jìn)入小區(qū).由于車位有限,物業(yè)公司決定在2019年度采用網(wǎng)絡(luò)競(jìng)拍的方式將車位對(duì)業(yè)主出租,租期一年,競(jìng)拍方案如下:①截至2018年己登記在冊(cè)的私家車業(yè)主擁有競(jìng)拍資格;②每車至多中請(qǐng)一個(gè)車位,由車主在競(jìng)拍網(wǎng)站上提出申請(qǐng)并給出自己的報(bào)價(jià);③根據(jù)物價(jià)部門的規(guī)定,競(jìng)價(jià)不得超過1200元;④申請(qǐng)階段截止后,將所有申請(qǐng)的業(yè)主報(bào)價(jià)自高到低排列,排在前120位的業(yè)主以其報(bào)價(jià)成交;⑤若最后出現(xiàn)并列的報(bào)價(jià),則以提出申請(qǐng)的時(shí)間在前的業(yè)主成交,為預(yù)測(cè)本次競(jìng)拍的成交最低價(jià),物業(yè)公司隨機(jī)抽取了有競(jìng)拍資格的40位業(yè)主,進(jìn)行了競(jìng)拍意向的調(diào)查,并對(duì)他們的擬報(bào)競(jìng)價(jià)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如圖頻率分布直方圖:

i)求所抽取的業(yè)主中有意向競(jìng)拍報(bào)價(jià)不低于1000元的人數(shù);

ii)如果所有符合條件的車主均參與競(jìng)拍,利用樣本估計(jì)總體的思想,請(qǐng)你據(jù)此預(yù)測(cè)至少需要報(bào)價(jià)多少元才能競(jìng)拍車位成功?(精確到整數(shù))

參考公式及數(shù)據(jù):對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在三棱錐中,,,的中點(diǎn).

(1)證明:平面

(2)若點(diǎn)在棱上,且,求點(diǎn)到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)和智能手機(jī)的普及與快速發(fā)展,許多可以解答各學(xué)科問題的搜題軟件走紅.有教育工作者認(rèn)為:網(wǎng)搜答案可以起到拓展思路的作用,但是對(duì)多數(shù)學(xué)生來講,容易產(chǎn)生依賴心理,對(duì)學(xué)習(xí)能力造成損害.為了了解網(wǎng)絡(luò)搜題在學(xué)生中的使用情況,某校對(duì)學(xué)生在一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題的頻數(shù)進(jìn)行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的學(xué)生中抽取了男、女學(xué)生各50人進(jìn)行抽樣分析,得到如下樣本頻數(shù)分布表:

將學(xué)生在一周時(shí)間內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)搜題頻數(shù)超過20次的行為視為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題,不超過20次的視為偶爾或不用網(wǎng)絡(luò)搜題”.

1)根據(jù)已有數(shù)據(jù),完成下列列聯(lián)表(單位:人)中數(shù)據(jù)的填寫,并判斷是否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下有把握認(rèn)為使用網(wǎng)絡(luò)搜題與性別有關(guān)?

2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,從該校所有參與調(diào)查的學(xué)生中,采用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取一個(gè)人,抽取4人,記經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)搜題的人數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考公式:,其中.

參考數(shù)據(jù):

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù),),已知直線的方程為.

(1)設(shè)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)到直線的距離的最小值;

(2)若曲線上的所有點(diǎn)均在直線的右下方,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù),其中.

(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處切線的方程;

(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

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同步練習(xí)冊(cè)答案