Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2a的菱形，∠BAD=60°，側(cè)棱PA⊥平面ABCD，且PA=

3

a，求：
（1）二面角P-BD-A的大�。�
（2）點A到平面PBD的距離．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,點、線、面間的距離計算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取BD中點M，由題設(shè)條件推導(dǎo)出∠PMA為二面角P-BD-A的平面角，由此能求出二面角P-BD-A的大�。�
（2）設(shè)A到平面PBD的距離為h，由V_A-PBD=V_P-ABD，用等積法能求出A到平面PBD的距離．

解答： （1）解：如圖，取BD中點M，
∵M為菱形中心，∴AM⊥BD，
又∵PA⊥面ABCD，∴由三垂線定理，得PM⊥BD，
∴∠PMA為二面角P-BD-A的平面角．
∵ABCD是邊長為2a的菱形，∴AB=AD，
又∵∠BAD=60°，∴△ABD為等邊三角形，
∴AM=2acos30°=

3

a．
又∵△PAM為直角三角形，PA=

3

a，所以tan∠PMA=

PA

AM

=1，
∴二面角P-BD-A的大小為45°．
（2）解：設(shè)A到平面PBD的距離為h，
∵V_A-PBD=V_P-ABD，
∴S△ABD•PA•

1

3

=S△PBD•h•

1

3

，
S△ABD=

1

2

BD•AM=

3

a²，PA=

3

a，
∵AB=AD，PA⊥平面ABCD，∴PB=PD．
在△PBD中，DM=a，PD=

PA2+AD2

=

7

a，
∴PM=

6

a，∴S△PBD=

1

2

BD•PM=

6

a²．
∴

3

a²•2a=

6

a²•h，
解得h=

2

a．
∴A到平面PBD的距離為

2

a．

點評：本題考查二面角大小的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)，注意等積法的合理運用．