Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+3x-3-ke^x．
（I） 當(dāng)x≥-5時(shí)，f（x）≤0，求k的取值范圍；
（II） 當(dāng)k=-1時(shí)，求證：f（x）＞-6．

Answer 1

分析 （I）由題意，分離參數(shù)求得k的取值范圍，構(gòu)造輔助函數(shù)$g（x）=\frac{{{x^2}+3x-3}}{e^x}$（x≥-5），求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最大值，即可求得k的取值范圍；
（II）當(dāng)k=-1時(shí)，求得f′（x），構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=2x+3+e^x，求導(dǎo)，求得h（x）單調(diào)區(qū)間及零點(diǎn)，即可求得f（x）的最小值，由$f（{x_0}）=x_0^2+{x_0}-6$在（-2，-1）上單調(diào)遞減，f（x₀）＞f（-1）=-6，即可求證f（x）＞-6．

解答 解：（I） 由題意可知，當(dāng)x≥-5時(shí)x²+3x-3≤ke^x恒成立，即$k≥\frac{{{x^2}+3x-3}}{e^x}$．
令$g（x）=\frac{{{x^2}+3x-3}}{e^x}$（x≥-5），則$g'（x）=\frac{{-{x^2}-x+6}}{e^x}=-\frac{{（{x+3}）（{x-2}）}}{e^x}$，
由g'（x）＜0，得-5≤x＜-3或x＞2，由g'（x）＞0，得-3＜x＜2，
所以g（x）在[-5，-3）和（2，+∞）單調(diào)遞減，在（-3，2）單調(diào)遞增．
所以$g{（x）_{極大}}=g（{-5}）=7{e^5}$，$g{（x）_{極大}}=g（2）=\frac{7}{e^2}$，g（-5）＞g（2），
所以x≥-5時(shí)，$g{（x）_{max}}=g（{-5}）=7{e^5}$，
所以k≥7e⁵；
（II）證明：當(dāng)k=-1時(shí)，f（x）=x²+3x-3+e^x，f'（x）=2x+3+e^x，設(shè)h（x）=2x+3+e^x，
則h'（x）=2+e^x＞0恒成立，所以h（x）在R上單調(diào)遞增．
又因?yàn)?h（{-1}）=1+\frac{1}{e}＞0$，$h（{-2}）=\frac{1}{e^2}-1＜0$，
所以h（x）=0在R上有唯一的零點(diǎn)，
即f'（x）在R上單調(diào)遞增且f'（x）=0在R上有唯一的零點(diǎn)，
設(shè)這個(gè)零點(diǎn)為x₀，則x₀∈（-2，-1），并且有${e^{x_0}}=-2{x_0}-3$．
可知f（x）在（x₀，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，x₀）單調(diào)遞減．
所以$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）=x_0^2+3{x_0}-3+{e^{x_0}}$=$x_0^2+3{x_0}-3-2{x_0}-3$=$x_0^2+{x_0}-6$，
因?yàn)?f（{x_0}）=x_0^2+{x_0}-6$在（-2，-1）上單調(diào)遞減，
于是f（x₀）＞f（-1）=-6，
所以f（x）＞-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分離變量法及不等式的證明，考查分析問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．