Question

10．已知實(shí)數(shù)a，b滿足：5-a≤3b≤12-3a，e^b≤a，則$\frac{a}$的取值范圍為[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 作出不等式組表示的平面區(qū)域，則$\frac{a}$表示與原點(diǎn)的連線的斜率額取值范圍．

解答 解：∵e^b≤a，
∴b≤lna
∵5-a≤3b≤12-3a，
畫出如圖所示的可行域，
由$\left\{\begin{array}{l}{3b=5-a}\\{3b=12-3a}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{7}{2}$，b=$\frac{1}{2}$，
即A（$\frac{7}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{7}$
設(shè)b=lna，
∴b′=$\frac{1}{a}$，
當(dāng)b=1時，此時斜線的斜率最大，即為$\frac{a}$=k=$\frac{1}{e}$，
綜上所述，$\frac{a}$的取值范圍為$[{\frac{1}{7}，\frac{1}{e}}]$，
故答案為：[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{e}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查了線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，當(dāng)滿足取得最值的最優(yōu)解的個數(shù)唯一時，一般需要確定目標(biāo)函數(shù)中的 直線斜率與邊界斜率的比較．