已知函數(shù)f(x)axlnxaR

()求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

()是否存在實(shí)數(shù)a,使不等式f(x)ax2x(1,+∞)恒成立,若存在,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,若不存在,請說明理由.

答案:
解析:

  解:();1

 、佼(dāng)時,,函數(shù)內(nèi)是增函數(shù),

  即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為;2

 、诋(dāng)時,令,

  且時,時,4

  所以函數(shù)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為5

  ()假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù),使不等式恒成立

  即恒成立.令,

  則,且恒成立;6

  ;7

 、佼(dāng)時,,則函數(shù)上單調(diào)遞減,于是矛盾,故舍去.8

 、诋(dāng)時,

  而當(dāng)時,由函數(shù)都單調(diào)遞減.

  且由圖象可知,趨向正無窮大時,趨向于負(fù)無窮大.

  這與恒成立矛盾,故舍去.10

  (注:若考生給出拋物線草圖以說明,如右,同樣也按該步驟應(yīng)得分給分)

  ③當(dāng)時,等價于()

  記其兩根為(這是因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/5658/0022/309db29999b957f6f813a775962325d8/C/Image245.gif" width=82 height=38>)

  易知時,,而時,,

  (i)時,則函數(shù)上遞減,于是矛盾,舍去;11

  (ii)時,則函數(shù)上遞增,于是恒成立.

  所以,即,解得;12

  綜上①②③可知,存在這樣的實(shí)數(shù),使不等式恒成立;13


練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)= (a、b為常數(shù)),且方程f(x)-x+12=0有兩個實(shí)根為x1=3,x2=4.

(1)求函數(shù)f(x)的解析式;

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(本小題滿分l2分)

已知函數(shù)f(x)=a

 

(1)求證:函數(shù)yf(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);

 

(2)f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

 

 

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( (本小題滿分13分)

已知函數(shù)f(x)=(a-1)xaln(x-2),(a<1).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(2)設(shè)a<0時,對任意x1、x2∈(2,+∞),<-4恒成立,求a的取值范圍.

 

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