已知函數(shù)
f(x)=ax+lnx,a∈R(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a,使不等式f(x)<ax2對x∈(1,+∞)恒成立,若存在,求實(shí)數(shù)a的取值范圍,若不存在,請說明理由.
解: (Ⅰ);1分、佼(dāng)時,,函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù), 即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為; 2分、诋(dāng)時,令得, 且時,又時, 4分所以函數(shù)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為. 5分(Ⅱ)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù),使不等式對恒成立 即恒成立.令, 則,且恒成立; 6分; 7分、佼(dāng)時,,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,于是與矛盾,故舍去. 8分、诋(dāng)時, 而當(dāng)時,由函數(shù)和都單調(diào)遞減. 且由圖象可知,趨向正無窮大時,趨向于負(fù)無窮大. 這與恒成立矛盾,故舍去. 10分(注:若考生給出拋物線草圖以說明,如右,同樣也按該步驟應(yīng)得分給分) ③當(dāng)時,等價于 ()記其兩根為 (這是因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/5658/0022/309db29999b957f6f813a775962325d8/C/Image245.gif" width=82 height=38>)易知時,,而時,, (i)若時,則函數(shù)在上遞減,于是矛盾,舍去;11分 (ii)若時,則函數(shù)在上遞增,于是恒成立. 所以,即,解得; 12分綜上①②③可知,存在這樣的實(shí)數(shù),使不等式對恒成立; 13分 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西省南昌市高一5月聯(lián)考數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)f(x)= (a、b為常數(shù)),且方程f(x)-x+12=0有兩個實(shí)根為x1=3,x2=4.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)設(shè)k>1,解關(guān)于x的不等式f(x)< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆遼寧盤錦市高一第一次階段考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(12分)已知函數(shù)f(x)= (a,b為常數(shù),且a≠0),滿足f(2)=1,方程f(x)=x有唯一實(shí)數(shù)解,求函數(shù)f(x)的解析式和f[f(-4)]的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年山東省萊蕪市高三上學(xué)期10月測試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(本小題滿分l2分)
已知函數(shù)f(x)=a-
(1)求證:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);
(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年湖南省十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
( (本小題滿分13分)
已知函數(shù)f(x)=(a-1)x+aln(x-2),(a<1).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)a<0時,對任意x1、x2∈(2,+∞),<-4恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆黑龍江省高一期末考試文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(12分)已知函數(shù)f(X)=㏒a(ax-1) (a>0且a≠1)
(1)求函數(shù)的定義域 (2)討論函數(shù)f(X)的單調(diào)性
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