Question

已知函數(shù)f（x）=4sin（x-

π

6

）cosx+1
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若A，B，C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且f（A）=1，B=

π

4

，又AC=2，求BC邊的長．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）借助于兩角和與差的正弦公式，并結(jié)合二倍角公式進(jìn)行化簡得到f（x）=2sin（2x-

π

6

），然后，借助于三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解；
（Ⅱ）根據(jù)f（A）=1，求解得到A=

π

6

或A=

π

2

，然后借助于正弦定理，分兩種情形進(jìn)行討論即可．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=4sin（x-

π

6

）cosx+1
=2

3

sinxcosx-2cos²x+1
=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

），
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）．
∵-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
∴kπ-

π

6

≤x≤

π

3

+kπ，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[kπ-

π

6

，

π

3

+kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵f（A）=1，
∴sin（2A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

6

或A=

π

2

，
當(dāng)A=

π

6

時(shí)，由正弦定理得

BC

sinA

=

Ac

sinB

，
∴BC=

ACsinA

sinB

=

2sin π 6

sin π 4

=

2

，
當(dāng)A=

π

2

時(shí)，由正弦定理得

BC

sinA

=

Ac

sinB

，
∴BC=

ACsinA

sinB

=

2sin π 2

sin π 4

=2

2

，
∴BC的長為

2

或2

2

．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了三角恒等變換公式、輔助角公式、正弦定理等知識，屬于中檔題．