Question

已知函數(shù)f（x）=（2cos²x+sin2x）tanx-1．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域和最小正周期；
（2）當x∈[-

3π

8

，0]時，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先，根據(jù)正切函數(shù)的定義域，確定該函數(shù)的定義域，然后，借助于二倍角公式，化簡函數(shù)解析式，f（x）=

2

sin（2x-

π

4

），然后確定該函數(shù)的周期即可；
（2）根據(jù)（1）和x∈[-

3π

8

，0]，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解．

解答： 解：（1）∵f（x）=（2cos²x+sin2x）tanx-1
∴x≠

π

2

+kπ，k∈Z，
∴函數(shù)的定義域為：{x|x≠

π

2

+kπ，k∈Z}，
∵f（x）=（2cos²x+sin2x）tanx-1
=2cos²xtanx+sin2xtanx-1
=2cosxsinx+2sin²x-1
=sin2x-cos2x
=

2

sin（2x-

π

4

）
∴f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）
∴T=

2π

2

=π，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期π．
（2）∵x∈[-

3π

8

，0]，
∴-

3π

4

≤2x≤0，
∴-π≤2x-

π

4

≤-

π

4

，
∴sin（2x-

π

4

）∈[-1，0]，
∴f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）∈[-

2

，0]，
∴最小值-

2

；最大值0．

點評：本題重點考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、周期公式、三角恒等變換等知識，屬于中檔題．