Question

9．已知點(diǎn)P（1，2）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0．若直線l過點(diǎn)P且被圓C截得的線段長為2$\sqrt{7}$，求l的方程．

Answer 1

分析 將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C坐標(biāo)與半徑r，根據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形，取AB的中點(diǎn)為D，連接CD，可得出CD垂直于AB，得出|AD|與|AC|的長，利用勾股定理求出|CD|的長，然后分兩種情況考慮：（i）直線l斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，表示出l方程，由C到l的距離為3，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出k的值，確定出此時(shí)l的方程；（ii）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線x=0滿足題意，綜上，得到所求的直線方程．

解答 解：圓的方程可化為：（x+2）²+（y-6）²=16，
∴圓心C坐標(biāo)為（-2，6），半徑r=4，
如圖所示，|AB|=2$\sqrt{7}$，設(shè)D是線段AB的中點(diǎn)，則CD⊥AB，
∴|AD|=$\sqrt{7}$，
又∵|AC|=4．
故在Rt△ACD中，可得|CD|=3…（5分）
∴當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，滿足題意，此時(shí)方程為x=1．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y-2=k（x-1），
由點(diǎn)C到直線AB的距離公式：$\frac{|-2k-6-k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=3，得k=-$\frac{7}{24}$．
此時(shí)，直線l的方程為7x+24y-41=0…（11分）
∴所求直線l的方程為x=1或37x+24y-41=0…（12分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：垂徑定理，勾股定理，點(diǎn)到直線的距離公式，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．