Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組．
（1）作出點(diǎn)（x，y）所在的平面區(qū)域并求出x²+y²的取值范圍；
（2）設(shè)m＞-1，在（1）所求的區(qū)域內(nèi)，求Q=y-mx的最值．

Answer 1

解：（1）將不等式去絕對(duì)值，化簡(jiǎn)為：或
平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的四邊形DEFG及其內(nèi)部，其中D（-3，7），E（0，1），F(xiàn)（2，-1），G（3，1）；
由圖可知，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)D（-3，7）重合時(shí)，
x²+y²達(dá)到最大值，最大值為OD²=9+49=58；
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)在直線EF上的射影重合時(shí)，
x²+y²達(dá)到最小值，最小值為
∴x²+y²的取值范圍是[，58]
（2）作直線l：Q=y-mx，則它的斜率k=m（k＞-1）
運(yùn)動(dòng)直線l，并觀察圖形可得：
①當(dāng)-1＜k≤2即-1＜m≤2時(shí)
平移l到經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)，Q=y-mx值最大，Q_max=7+3m；
平移l到經(jīng)過F點(diǎn)時(shí)，Q=y-mx值最小Q_min=-1-2m
②當(dāng)k＞2，即m＞2時(shí)，
平移l到經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)，Q=y-mx值最大，Q_max=7+3m
平移l到經(jīng)過G點(diǎn)時(shí)，Q=y-mx值最小Q_min=1-3m．
分析：（1）將不等式去絕對(duì)值化簡(jiǎn)，即可作出如圖的四邊形DEFG及其內(nèi)部，即為所求平面區(qū)域．再根據(jù)原點(diǎn)到點(diǎn)（x，y）的距離，算出x²+y²的最大最小值，即可得到x²+y²的取值范圍；
（2）作直線l：Q=y-mx并進(jìn)行平移，觀察圖形可得：Q的最大值為7+3m；當(dāng)-1＜k≤2時(shí)Q的最小值為-1-2m，當(dāng)k＞2時(shí)Q的最小值為1-3m．
點(diǎn)評(píng)：本題給出二元一次不等式組，求作平面區(qū)域并求目標(biāo)函數(shù)的最大最小值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃等知識(shí)，屬于中檔題．