Question

20．已知a，b為常數(shù)，且a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0．
（Ⅰ）若方程f（x）-x=0有唯一實(shí)數(shù)根，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值與最小值；
（Ⅲ）當(dāng)x≥2時，不等式f（x）≥2-a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （ I）方程f（x）-x=0有唯一實(shí)數(shù)根，推出a的關(guān)系式求解即可．
（II）利用a=1，化簡f（x）=x²-2x，x∈[-1，2]，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
（Ⅲ）解法一、當(dāng)x≥2時，不等式f（x）≥2-a恒成立，推出$a≥\frac{2}{{{{（x-1）}^2}}}$在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，設(shè)$g（x）=\frac{2}{{{{（x-1）}^2}}}$，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出結(jié)論．
解法二，當(dāng)x≥2時，不等式f（x）≥2-a恒成立，x≥2 時，f（x）的最小值≥2-a，當(dāng)a＜0時，當(dāng)a＞0時，通過函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，推出a的范圍．

解答 （本小題共13分）
解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x²-2x）…（2分）
（ I）方程f（x）-x=0有唯一實(shí)數(shù)根，
即方程ax²-（2a+1）x=0有唯一解，…（3分）
∴（2a+1）²=0，解得$a=-\frac{1}{2}$…（4分）
∴$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+x$…（5分）
（II）∵a=1
∴f（x）=x²-2x，x∈[-1，2]
若f（x）_max=f（-1）=3…（7分）
若f（x）_min=f（1）=-1…（9分）
（Ⅲ）解法一、當(dāng)x≥2時，不等式f（x）≥2-a恒成立，
即：$a≥\frac{2}{{{{（x-1）}^2}}}$在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，…（10分）
設(shè)$g（x）=\frac{2}{{{{（x-1）}^2}}}$，
顯然函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，+∞）上是減函數(shù)，…（11分）
g_max（x）=g（2）=2…（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)a≥g_max（x）時，不等式f（x）≥2-a²在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，
因此a≥2…（13分）
解法二、因?yàn)?nbsp; 當(dāng)x≥2時，不等式f（x）≥2-a恒成立，
所以 x≥2 時，f（x）的最小值≥2-a…（10分）
當(dāng)a＜0時，f（x）=a（x²-2x）在[2，+∞）單調(diào)遞減，f（x）≤0恒成立
而2-a＞0
所以a＜0時不符合題意．                           …（11分）
當(dāng)a＞0時，f（x）=a（x²-2x）在[2，+∞）單調(diào)遞增，
f（x）的最小值為f（2）=0
所以 0≥2-a，即a≥2即可
綜上所述，a≥2…（13分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)恒成立，轉(zhuǎn)化思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用以及計算能力．