Question

對勾函數(shù)f（x）=ax+

b

x

，（a＞0，b＞0）是一種常見的基本初等函數(shù)，為了研究對勾函數(shù)f（x）=x+

4

x

的一些性質(zhì)，例如單調(diào)性，奇偶性，最值等性質(zhì)．首先通過列表法，列舉了函數(shù)f（x）=x+

4

x

在（0，+∞）上部分自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值表，如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.002	4.04	4.3	5	4.8	7.57	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點(diǎn)，完成以下的問題．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x+

4

x

，（x＞0）在區(qū)間（0，2）上遞減；函數(shù)f（x）=x+

4

x

，（x＞0）在區(qū)間

 

上遞增．當(dāng)x=

 

時(shí)，y_最小=

 

．
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區(qū)間（0，2）遞減．
（Ⅲ）思考：函數(shù)f（x）=x+

4

x

（x＜0）時(shí)，有最值嗎？是最大值還是最小值？（注意：第（Ⅲ）問不必說明理由，直接寫答案即可）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)圖表即可得到結(jié)論，
（Ⅱ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明：函數(shù)f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區(qū)間（0，2）遞減．
（Ⅲ）根據(jù)基本不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由圖表中數(shù)據(jù)可知函數(shù)f（x）=x+

4

x

，（x＞0）在區(qū)間（4，+∞）上遞增．當(dāng)x=2時(shí)，y_最小=4．
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區(qū)間（0，2）遞減．
設(shè)0＜x₁＜x₂＜2，則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

4

x1

-x₂-

4

x2

=（x₁-x₂）•

x1x2-4

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴0＜x₁x₂＜4，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•

x1x2-4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即函數(shù)f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區(qū)間（0，2）遞減．
（Ⅲ）∵f（x）=x+

4

x

，
∴f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），
即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)可知，當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)有最大值，為f（-2）=-f（2）=-4．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，要求正確理解函數(shù)的性質(zhì)．