Question

設(shè)A，B分別為橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，l為Γ在點(diǎn)B處的切線，P為Γ上異于A，B的一點(diǎn)，直線AP交l于D，M為BD中點(diǎn)，有如下結(jié)論：
①FM平分∠PFB；     
②PM與橢圓Γ相切；
③PM平分∠FPD；    
④使得PM=BM的點(diǎn)P不存在．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：不妨取P為上頂點(diǎn)，驗(yàn)證知①②成立，于是PM平分∠BPD，故③不成立；若PA⊥PB，則PM為Rt△BDP的斜邊中線，PM=BM，這樣的P有4個(gè)，故④不成立．

解答： 解：不妨取P為上頂點(diǎn)，則P（0，b），M（a，b），F(xiàn)（c，0），則
k_FM=

b

a-c

，k_PF=-

b

c

，∴tan∠PFM=

- b c - b a-c

1+(- b c )• b a-c

=

b

a-c

，
∴∠PFM=∠MFB，∴FM平分∠PFB，即①成立；
由于P（0，b），M（a，b），∴PM與橢圓Γ相切，即②成立；
于是PM平分∠BPD，故③不成立；
若PA⊥PB，則PM為Rt△BDP的斜邊中線，PM=BM，這樣的P有4個(gè)，故④不成立．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．