Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點，若此橢圓上一點P滿足|PF₂|=|F₁F₂|，且原點O到直線PF₁的距離不超過b，則離心率e的取值范圍是（　�。�

• A、(

  1

  3

  ， 

  2

  2

  ]
• B、(

  1

  3

  ，

  5

  7

  ]
• C、[

  5

  7

  ， 1)
• D、(0，

  5

  7

  ]

Answer 1

分析：過點F₂作F₂D⊥PF₁于D點，利用|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，由題設(shè)條件能求出當原點O到直線PF₁的距離為b時離心率的最大值和當原點O到直線PF₁的距離不超過b趨向于0時離心率的最小值，由此能求出結(jié)果．

解答：解：設(shè)原點O到直線PF₁的距離為x，
∵原點O到直線PF₁的距離不超過b，
∴0＜x≤b，
∵點P在橢圓C上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a，
又∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，
∴|PF₁|=2a-2c，
過點F₂作F₂D⊥PF₁于D點，
當x=b時，F(xiàn)₂到直線PF₂的距離為|DF₂|=2b，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴D是PF₁的中點，
∴DF₁=

1

2

|PF₁|=a-c，
R△DF1F2中，|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，
即（a-c）²+（2b）²=（2c）²，
整理得：5a²-2ac-7c²=0，
即（a+c）（5a-7c）=0
∵a+c不為0，∴5a-7c=0，得c=

5

7

a，
∴橢圓C的離心率為e=

c

a

=

5

7

．
當x≠b時，F(xiàn)₂到直線PF₂的距離為|DF₂|=2x，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴D是PF₁的中點，
∴DF₁=

1

2

|PF₁|=a-c，
R△DF1F2中，|DF1|2+|DF2|2=|F1F2|2，
即（a-c）²+（2x）²=（2c）²，
整理得：a²-2ac+4x²=3c²，
∵0＜x≤b，
∴當x→0時，a²-2ac=3c²，
∴3e²+2e-1=0，
解得e=

1

3

，或e=-1（舍）．
綜上所述：

1

3

＜e≤

5

7

．
故選B．

點評：本題考查橢圓的離心率的取值范圍的求法，解題時要熟練掌握橢圓的基本性質(zhì)，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．