Question

已知a，b都是正數(shù)，△ABC是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，以兩點(diǎn)A （ a，0 ）和B （ 0，b ）為頂點(diǎn)的正三角形，且它的第三個(gè)頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)．
（1）若△ABC能含于正方形D={ （ x，y ）|0≤x≤1，0≤y≤1}內(nèi)，試求 變量 a，b 的約束條件，并在直角坐標(biāo)系aOb內(nèi)內(nèi)畫出這個(gè)約束等條件表示的平面區(qū)域；
（2）當(dāng)（ a，b ）在（1）所得的約束條件內(nèi)移動時(shí)，求△ABC面積S的最大值，并求此時(shí)（a，b ）的值．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，以兩點(diǎn)A （ a，0 ）和B （ 0，b ）為頂點(diǎn)的正三角形，得出頂點(diǎn)C是以A、B為圓心|AB|為半徑的兩圓在第一象限的交點(diǎn)，結(jié)合圓的方程解出C點(diǎn)的坐標(biāo)，利用其在△ABC含于正方形D內(nèi)，即可得出關(guān)于（a，b）的約束條件．其圖形為右圖的六邊形；
（2）根據(jù)△ABC是邊長為

a2+b2

的正三角形，當(dāng)S取最大值等價(jià)于六邊形圖形中的點(diǎn)（ a，b ）到原點(diǎn)的距離最大，利用六邊形中P、Q、R相應(yīng)的OP、OQ、OR的計(jì)算即得．

解答：解：（1）頂點(diǎn)C是以A、B為圓心|AB|為半徑的兩圓在第一象限的交點(diǎn)，
由圓A：（ x-a）²+y²=a²+b²，圓B：x²+（ y-b ）²=a²+b²．
解得 x=

a+ 3 b

2

，y=

3 a+b

2

，
∴C（

a+ 3 b

2

，

3 a+b

2

），
△ABC含于正方形D內(nèi)，
即三頂點(diǎn)A，B，C含于區(qū)域D內(nèi)時(shí)，
∴

0≤a≤1 0≤b≤1 0≤ a+ 3 b 2 ≤1 0≤ 3 a+b 2 ≤1.

這就是（a，b）的約束條件．其圖形為右圖的六邊形，
∵a＞0，b＞0，∴圖中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)除外．
（2）∵△ABC是邊長為

a2+b2

的正三角形，
∴S=

3

4

（ a²+b²）在（1）的條件下，
當(dāng)S取最大值等價(jià)于六邊形圖形中的點(diǎn)（ a，b ）到原點(diǎn)的距離最大，
由六邊形中P、Q、R相應(yīng)的OP、OQ、OR的計(jì)算．
OP²=OR²=1²+（ 2-

3

）²=8-4

3

；OQ²=2（

3

-1）²=8-4

3

．
知：當(dāng) （ a，b ）=（ 1，2-

3

），或（

3

-1，

3

-1），或（ 2-

3

，1 ）時(shí)，Smax=2

3

-3．

點(diǎn)評：本小題主要考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用、圓的方程、解三角形等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．